Análise Combinatória

Uma professora dá aulas a uma turma de dez crianças, sendo 7 meninas e 3 meninos.
Para uma determinada atividade, ela pretende dividir as crianças em cinco duplas, de
forma que nenhuma dupla seja constituída por 2 meninos.
De quantas formas podem ser formadas essas cinco duplas?
a) 180.
b) 450.
c) 630.
d) 810.
e) 900.

Olá, Juliana.
(Bom, sou aluna, e usei essa questão como desafio para estudar Combinatória)
Pensei que pode ser resolvido dessa maneira

10 alunos podem formar 5 pares, 3 pares com uma menina e um menino cada e mais 2 pares apenas com meninas. Beleza.

Olhando apenas para os 3 pares que vai ficar obrigatoriamente uma menina com um menino, então usamos todo o conjunto de meninos, logo temos uma permutação onde n = p. Sendo que cada “casinha” é um par.
____ , ___ , ____ .
   3       2       1    = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades.

Agora entre as meninas, são 7 meninas para 3 pares, mas cada menina pode estar nos 3 pares possíveis, que podem trocar entre si. Só que a ordem não importa e não consideramos todo o conjunto de meninas (n>p), então temos uma combinação, precisamos tirar as repetições, certo?
____ , ____ , ____ .

C (n, p) = n! / p! (n - p)! =
C (7, 3) = 7! / (7 - 3)! 3! = 7 x  6 x 5 x  4 x  3! / ( 4 x  3 x  2 x 1) x  3! = 35 possibilidades.

Agora multiplicamos todas as possibilidades para os três pares de um menino e uma menina: 6 x 35 = 210 possibilidades para montar esses 3 pares.

Mas então sobraram mais 4 meninas que vão formar dois pares, mas podemos ver as quatro meninas trocando de lugar, a ordem não importa e temos uma combinação de 4 meninas de 2 em 2:
___ , ___

C (n, p) = n! / p! (n - p)! =
C (4, 2) = 4! / (4 - 2)! 2! = 4 x 3 x   2! / (2 x 1) x   2!  = 12/ 2 = 6 possibilidades.

Mas sabemos que ainda, Maria e Daniela = Daniela e Maria no mesmo par, e o outro par já foi definido e também teremos Ana e Cláudia = Cláudia e Ana, temos que dividir essas possibilidades por 2 essas possibilidades, pois ao escolher uma dupla, a outra estará definida automaticamente:
6/2 = 3 possibilidades.

Agora só basta multiplicar as possibilidades, pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC):
3 x 35 x 3 = 630 (c).

Vou levar a questão para uma aula de dúvidas (com o Tevo), porque é sempre melhor ter uma ajuda de um professor do Me Salva. Então pode ter algum ponto que eu expliquei errado ou ainda, o gabarito pode estar errado.

Abraços! Bons Estudos!

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